das Rechnen mit Brüchen. Dazu zählen die Regel

\begin{eqnarray}\frac{x}{y}=\frac{v}{w}\iff xw=vy\end{eqnarray}

für die Gleichheit zweier Brüche \(\frac{x}{y}\) und \(\frac{v}{w}\), die Identitäten

\begin{eqnarray}\frac{x}{1}=x,\frac{0}{x}=0,\frac{x}{x}=1\end{eqnarray}

für alle (reellen oder komplexen) Zahlen x (mit x ≠ 0, wo es im Nenner steht), das Multiplizieren eines Bruchs \(\frac{x}{y}\) mit einer Zahl z durch

\begin{eqnarray}\frac{x}{y}z=\frac{xz}{y},\end{eqnarray}

sowie das Dividieren eines Bruchs durch eine Zahl \(z\ne 0\) mittels

\begin{eqnarray}\frac{x}{y}:z=\frac{x}{yz},\end{eqnarray}

und das Erweitern eines Bruchs \(\frac{x}{y}\) durch gleichzeitiges Multiplizieren von Zähler und Nenner mit einer Zahl z ≠ 0, wobei sich der Wert des Bruchs nicht ändert:

\begin{eqnarray}\frac{x}{y}=\frac{xz}{yz}\end{eqnarray}

Der umgekehrte Vorgang, also das gleichzeitige Dividieren von Zähler und Nenner durch eine Zahl z ≠ 0, heißt Kürzen des Bruchs \(\frac{\mathrm{xz}}{\mathrm{yz}}\). Man addiert bzw. subtrahiert zwei Brüche \(\frac{x}{y}\) und \(\frac{v}{w}\), indem man sie auf einen gemeinsamen Nenner erweitert und dann die Zähler addiert bzw. subtrahiert:

\begin{eqnarray}\frac{x}{y}\pm \frac{u}{w}=\frac{xw}{yw}\pm \frac{yu}{yw}=\frac{xw\pm yu}{yw}\end{eqnarray}

Brüche werden multipliziert, indem man jeweils ihre Zähler und Nenner miteinander multipliziert:

\begin{eqnarray}\frac{x}{y}\cdot \frac{v}{w}=\frac{xu}{yw}\end{eqnarray}

Das Negative eines Bruchs \(\frac{v}{w}\) ist gegeben durch

\begin{eqnarray}-\frac{v}{w}=-\frac{v}{w}=\frac{v}{-w},\end{eqnarray}

und das Reziproke eines Bruchs \(\frac{v}{w}\ne 0\) durch seinen Kehrwert

\begin{eqnarray}{(\frac{v}{w})}^{-1}=\frac{w}{v}\end{eqnarray}

Man dividiert daher einen Bruch \(\frac{x}{y}\) durch einen anderen \(\frac{v}{w}\ne 0\), indem man ihn mit dessen Kehrwert multipliziert:

\begin{eqnarray}\frac{x}{y}:\frac{v}{w}=\frac{x}{y}\cdot {(\frac{v}{w})}^{-1}=\frac{x}{y}\cdot \frac{v}{w}=\frac{xw}{yv}\end{eqnarray}