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Lexikon der Mathematik: Buchproblem

folgendes Problem der elementaren Kombinatorik:

Wie weit kann ein Stapel aus n Büchern über eine Tischkante herausragen ohne herunterzufallen?

Bei einem Stapel aus einem Buch muß der Schwerpunkt des Buches irgendwo über dem Tisch liegen. Um einen maximalen Überhang zu erreichen, muß der Schwerpunkt des Buches genau über der Tischkante liegen. Es folgt, daß mit einem Stapel aus einem Buch der maximale Überhang eine halbe Buchlänge hat.

Besteht der Stapel aus zwei Büchern, so muß der Schwerpunkt des oberen Buches über der Kante des unteren Buches und der Schwerpunkt des gesamten Stapels über der Tischkante liegen. Hat ein Buch die Länge 1, liegt der Schwerpunkt des Stapels also bei \((1+1/2)/2=3/4\) von der (rechten) Kante des oberen Buches. D.h., bei einem Stapel aus zwei Büchern hat der maximale Überhang eine Länge von 3/4. Bei einem Stapel aus drei Büchern hat der maximale Überhang eine Länge von \((1+1/2+1/3)/2=11/12\), und bei einem Stapel aus vier Büchern erreicht man einen unerwarteten maximalen Überhang von \((1+1/2+1/3+1/4)/2=25/24\), also mehr als eine Buchlänge (s. Abb.)

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Buchproblem
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Es stellt sich heraus, daß der größtmögliche Überhang dn für n Bücher (ausgedrückt in Buchlänge) die Hälfte der n-ten Teilsumme der harmonischen Reihe ist, also

\begin{eqnarray}{d}_{n}=\frac{1}{2}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\frac{1}{k}\end{eqnarray}

Daraus folgt, daß für einen Überhang von \(n=1,2,34,5.\ldots \) Buchlängen jeweils 4, 31, 227, 1674, 12367, ... Bücher gebraucht werden. Die ersten fünf Werte für dn sind:

\begin{eqnarray}{d}_{1}=\frac{1}{2}=0,5\\ {d}_{2}=\frac{3}{4}=0,75\\ {d}_{3}=\frac{11}{12}\approx 0,91667,\\ {d}_{4}=\frac{25}{24}\approx 1,04167,\\ {d}_{5}=\frac{137}{120}\approx 1,20833\end{eqnarray}

[1] Graham, R.L.; Knuth, D.E.; Patashnik, O.: Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science. Addison-Wesley Reading, 1990.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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