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Lexikon der Mathematik: Buffonsches Nadelproblem

geometrische Bestimmung der Wahrscheinlichkeit p, daß eine Nadel der Länge 2l, die „auf gut Glück” auf eine Ebene geworfen wird, auf der im Abstand 2a > 2l parallele Geraden gezogen wurden, irgendeine dieser Geraden schneidet.

Dabei ist mit dem Ausdruck „auf gut Glück” gemeint, daß die Nadel keine Lage auf der Ebene bevorzugt und daß die Position des Nadelmittelpunktes und die Richtung der Nadel voneinander unabhängig sind.

Die Lage der Nadel (in bezug auf die nächste Gerade) ist eindeutig durch den senkrechten Abstand x des Mittelpunktes der Nadel von der nächstgelegenen Geraden und den Winkel \(\varphi \in [0,\pi )\) zwischen der Nadel und dieser Geraden bestimmt. Das Rechteck

\begin{eqnarray}\Omega :=\{(x,\varphi )|0\le x\le a,0\le \varphi \lt \pi \}\end{eqnarray}

ist also die Menge aller möglichen Positionen der Nadel. Eine geometrische Überlegung zeigt, daß die Nadel genau dann eine Gerade schneidet, wenn \((x,\varphi )\in A\), wobei

\begin{eqnarray}A:=\{(x,\varphi )|(x,\varphi )\in \Omega, x\le l\sin \varphi \}.\end{eqnarray}

Unter den genannten Voraussetzungen ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit p gleich \(I(A)/I(\Omega )\), wobei I(A) bzw. \(I(\Omega )\) die Fläche von A bzw. Ω bezeichnet. Daraus folgt \(p=2l/(a\pi )\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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