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Lexikon der Mathematik: Burkholder-Ungleichung

Ungleichung für Martingale.

Sei \(X={({X}_{n})}_{n\in {\mathbb{N}}}\)ein der Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{n})}_{n\in {\mathbb{N}}}\)adaptiertes Martingal.

Dann existieren für jedes \(p\gt 1\)Konstanten Ap und Bp, die nicht von X abhängen, so daß für beliebiges \(n\ge 1\)gilt

\begin{eqnarray}{A}_{p}{(E({[X]}_{n}^{\frac{p}{2}}))}^{\frac{1}{p}}\ge (E{(|{X}_{n}{|}^{p})}^{\frac{1}{p}}\le {B}_{p}{(E({[X]}_{n}^{\frac{p}{2}}))}^{\frac{1}{p}},\end{eqnarray}

wobei [X] die quadratische Variation von X bezeichnet.

Als Konstanten kann man \({A}_{p}={[18{p}^{3/2}/(p-1)]}^{-1}\) und \({B}_{p}=18{p}^{3/2}/{(p-1)}^{1/2}\) wählen.

Neben der hier genannten Form der Ungleichung existieren auch Verallgemeinerungen für stetige lokale Martingale.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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