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Lexikon der Mathematik: Busemannscher G-Raum

geodätischer Raum, ein metrischer Raum \( {\mathcal R} \), in dem Verallgemeinerungen der Begriffe der geodätischen Kurven und der kürzesten Verbindungslinien der Riemannschen Geometrie definiert sind.

Mit dem Begriff der Bogenlänge in metrischen Räumen ist man in der Lage, analog zur inneren Metrik von Riemannschen Mannigfaltigkeiten die innere Metrik ϱi von \( {\mathcal R} \) zu definieren: Für \(x,y\in {\mathcal R} \) ist ϱi(x, y) das Infimum der Längen aller Verbindungskurven von x mit y. Dafür muß man voraussetzen, daß \( {\mathcal R} \) die Eigenschaft des „finiten Bogenzusammenhangs” hat. Diese besagt, daß für je zwei Punkte \(x,y\in {\mathcal R} \) eine rektifizierbare stetige Kurve existiert, die x mit y verbindet. Als einfaches Beispiel eines Raumes, der diese Eigenschaft nicht hat, dient die Abschließung des Graphen der Funktion y = sin(1/x) im \(y=\sin (1/x)\text{\hspace{0.17em}}\text{im}\,{{\mathbb{R}}}^{2}\).

Auch die Begiffe der „Kürzesten”, der „Geodätischen” und des „linearen Parameters” einer Geodätischen lassen sich leicht definieren.

Als „Raum mit innerer Metrik” definiert man einen finit bogenzusammenhängenden metrischen Raum \( {\mathcal R} \) mit Metrik \(\varrho \), dessen ursprünglich vorgegebene Metrik mit seiner inneren Metrik übereinstimmt.

Ein Busemannscher G-Raum wird als ein finit kompakter metrischer Raum mit einer inneren Metrik definiert, in dem die Bedingung der Ausdehnbarkeit der kürzesten Verbindungslinien über ihre Endpunkt hinaus lokal gilt.

Ein solcher Raum besitzt die folgende Konvexitätseigenschaft: Es seien α und β zwei durch die Bogenlänge parametrisierte Geodätische. Dann gilt für \(0\le t\le 1\):

\begin{eqnarray}\varrho (\alpha (t),\beta (t))\\ \le td(\alpha (0),\beta (0))+(1-t)\varrho (\alpha (1),\beta (1)).\end{eqnarray}

[1] Rinow, W.: Die innere Geometrie der metrischen Räume. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1961.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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