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Lexikon der Mathematik: Calderón-Vaillancourt, Satz von

Satz über die Stetigkeit von Pseudodifferentialoperatoren als Abbildungen zwischen geeigneten Sobolev-Räumen.

Sei A ein Pseudodifferentialoperator mit Symbol a aus der Symbolklasse \({S}_{{\varrho }^{,\delta }}^{m},m\in {\mathbb{Z}}\), d. h.

\begin{eqnarray}|\frac{{\partial }^{|\beta |}}{\partial {x}_{1}^{{\beta }_{1}}\cdot \partial {x}_{n}^{{\beta }_{N}}}\frac{{\partial }^{|\gamma |}}{\partial x{\xi }_{1}^{{\gamma }_{1}}\cdot \partial {\xi }_{n}^{{\gamma }_{N}}}a(x,\xi )|\\ \le \text{\hspace{0.17em}}{C}_{\beta, \text{\hspace{0.17em}}\gamma }{(1+|\xi |)}^{m-\varrho |\gamma |+\delta |\beta |}\end{eqnarray}

mit

\begin{eqnarray}|\beta |:=\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\beta }_{i}\text{\hspace{0.17em}}\text{und}\text{\hspace{0.17em}}|\gamma |:=\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\gamma }_{i}\end{eqnarray}

für alle Multiindizes \(\beta, \gamma \in {{\mathbb{N}}}^{N},0\lt \varrho \le 1,0\le \delta \lt 1.\) Dann ist der durch a definierte Pseudodifferential-operator

\begin{eqnarray}(Af)(x):={(2\pi )}^{-N/2}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{N}}{e}^{i\lt x,\xi \gt }a(x,\xi )\hat{f}(\xi ){d}^{N}\xi \end{eqnarray}

eine stetige Abbildung zwischen den Sobolev-Räumen \({H}_{s}({{\mathbb{R}}}^{N})\) und \({H}_{s-m}({{\mathbb{R}}}^{N})\) für alle s. Die Distribution $\hat{f}$ bezeichne dabei die Fourier-Transformierte von f. Definiert man also die Sobolev-s-Norm durch

\begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }^{2}:={(2\pi )}^{-N/2}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{N}}{(1+{|\xi |}^{2})}^{s/2}{|\hat{f}(\xi )|}^{2}{d}^{N}\xi \end{eqnarray}

so zeigt der Satz von Calderón-Vaillancourt, daß

\begin{eqnarray}\Vert Af{\Vert }_{s-m}\le {C}_{s}\Vert f{\Vert }_{s}\,\text{für alle}\,s\end{eqnarray}

mit geeignetem Cs gilt. Für die Konstante \({C}_{s}\) existieren konkrete Abschätzungen in den Ableitungen des Symboles.

Dieser Satz spielt eine zentrale Rolle in der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren, zeigt er doch, daß sich der ad hoc nur als Abbildung vom Schwartz-Raum S in die temperierten Distributionen S′ definierte Operator A in die Sobolev-Räume \({H}_{s}\) fortsetzen läßt.

[1] Hörmander, L.: The Analysis of Linear Partial Differential Operators I,II. Springer Heidelberg/Berlin, 1985.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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