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Lexikon der Mathematik: Cantor-Entwicklung

eine Reihenentwicklung reeller Zahlen der unten angegebenen Form (1) mit Hilfe einer Grundfolge (gj)j≥1, bestehend aus natürlichen Zahlen gj ≥ 2.

Es gilt folgender Satz:

Es sei Pj eine Bezeichnung für

\begin{eqnarray}{P}_{j}={g}_{1}\cdot \ldots \cdot {g}_{j}.\end{eqnarray}

Dann gibt es zu jeder reellen Zahl x eine eindeutig bestimmte Folge (cj)j≥1von „Ziffern“

\begin{eqnarray}{c}_{j}\in \{0,\ldots, {g}_{j}-1\}\end{eqnarray}

mit cjgj − 1 für unendlich viele j und derart, daß gilt:

\begin{eqnarray}x=\lfloor x\rfloor +\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }\frac{{c}_{j}}{j!}.\end{eqnarray}

Hier hat man also eine Cantor-Entwicklung mit der Grundfolge gj = j.

Eine wichtige Anwendung von Cantor-Entwicklungen und insbesondere von Cantorschen Reihen ist folgendes Irrationalitätskriterium:

Sei die Folge (gj)j≥1so beschaffen, daß es zu jeder Primzahl p unendlich viele j gibt mit p | gj.

Dann gilt: Eine reelle Zahl α ist genau dann rational, wenn in ihrer Cantor-Entwicklung nur endlich viele Ziffern cj von Null verschieden sind.

Hieraus folgt beispielsweise sofort, daß die Eulersche Zahl e irrational ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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