eine Reihenentwicklung reeller Zahlen der unten angegebenen Form (1) mit Hilfe einer Grundfolge (g_j)_j≥1, bestehend aus natürlichen Zahlen g_j ≥ 2.

Es gilt folgender Satz:

Es sei P_j eine Bezeichnung für

\begin{eqnarray}{P}_{j}={g}_{1}\cdot \ldots \cdot {g}_{j}.\end{eqnarray}

Dann gibt es zu jeder reellen Zahl x eine eindeutig bestimmte Folge (c_j)_j≥1von „Ziffern“

\begin{eqnarray}{c}_{j}\in \{0,\ldots, {g}_{j}-1\}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}x=\lfloor x\rfloor +\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }\frac{{c}_{j}}{j!}.\end{eqnarray}

Hier hat man also eine Cantor-Entwicklung mit der Grundfolge g_j = j.

Eine wichtige Anwendung von Cantor-Entwicklungen und insbesondere von Cantorschen Reihen ist folgendes Irrationalitätskriterium:

Sei die Folge (g_j)_j≥1so beschaffen, daß es zu jeder Primzahl p unendlich viele j gibt mit p | g_j.

Dann gilt: Eine reelle Zahl α ist genau dann rational, wenn in ihrer Cantor-Entwicklung nur endlich viele Ziffern c_j von Null verschieden sind.

Hieraus folgt beispielsweise sofort, daß die Eulersche Zahl e irrational ist.