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Lexikon der Mathematik: Cantor-Menge

klassisches Beispiel für ein Fraktal. Sei I0 ≔ [0, 1]. Für k ∈ ℕ sei Ik diejenige Menge, die durch Streichung des offenen mittleren Drittels aller 2k−1 zusammenhängenden Teilintervalle von Ik−1 entsteht (z. B. ist \({I}_{1}=[0,\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},1]\)). Die Schnittmenge

\begin{eqnarray}C:=\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\cap }}{I}_{k}\end{eqnarray}

heißt Cantor-Menge.

Die Cantor-Menge besteht aus allen Zahlen t ∈ [0, 1], die sich in der Form

\begin{eqnarray}t=\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{{a}_{k}}{{3}^{k}}\end{eqnarray}

mit ak ∈ {0, 2}, (k ∈ ℕ) darstellen lassen. Ihre Hausdorff- und Kapazitätsdimension sind gleich, und es gilt

\begin{eqnarray}{\dim }_{H}C={\dim }_{Kap}C=\frac{\mathrm{log}2}{\mathrm{log}3}\end{eqnarray}

(vgl. auch Cantor-Fläche).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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