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Lexikon der Mathematik: Cantorscher Durchschnittssatz

Satz über den Durchschnitt einer Folge abgeschlossener Mengen.

Es sei X ein vollständiger metrischer Raum. Auf den nichtleeren Teilmengen von X definiere man eine Durchmesserfunktion

\begin{eqnarray}\delta (M)=\sup \{d(x,y)|x,y\in M\},\end{eqnarray}

wobei MX gilt und d die Metrik auf X ist.

Ist dann (Fn) eine Folge abgeschlossener nichtleerer Teilmengen von X mit

\begin{eqnarray}{F}_{1}\supset {F}_{2}\supset {F}_{3}\cdots \end{eqnarray}

und δ(Fn) → 0, dann enthält

\begin{eqnarray}\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\cap }}{F}_{n}\end{eqnarray}

genau einen Punkt xX.

Dieser Satz ist das Analogon des Prinzips der Intervallschachtelung für vollständige metrische Räume. Er wird beispielsweise gebraucht, um den Baireschen Kategoriensatz zu beweisen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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