Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Carathéodory, Existenzsatz von

lautet:

Seien a, b ∈ ℝ, G ≔ (a, b) × ℝn, f : G → ℝn. Weiterhin sei für jedes feste ∈ ℝn die Funktion f (x, ) bezüglich x meßbar und für jedes feste x eines maßgleichen Kerns von a < x < b bezüglich y stetig. Sei schließlich M : (a, b) → ℝ eine Lebesgue-integrierbare Funktion und gelte

\begin{eqnarray}|{f}_{k}(x,{\bf{y}})|\le M(x)\quad((x,{\bf{y}})\in G,\quad k\in \{1,\ldots, n\}),\end{eqnarray}

wobei die fk die einzelnen Koordinatenfunktionen von f = (f1,…,fn) sind.

Dann existiert zu jedem (x0, y0) ∈ G eine Abbildung yC0(G, ℝn) mit

\begin{eqnarray}{\bf{y}}(x)={{\bf{y}}}_{0}+\displaystyle \underset{{x}_{0}}{\overset{x}{\int }}f(\tau, {\bf{y}}(\tau ))d\tau \quad(x\in (a,b)).\end{eqnarray}

Überall dort, wo f stetig ist, ist y dann eine Lösung des Differentialgleichungssystems y′ = f(x, y). Genügt f zusätzlich für beliebige ȳ = (ȳ1, …, ȳn) ∈ ℝn der verallgemeinerten Lipschitz-Bedingung

\begin{eqnarray}|{f}_{k}(x,\bar{{\bf{y}}})-{f}_{k}(x,{\bf{y}}(x))|\le N(x)\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|{\bar{y}}_{i}-{y}_{i}(x)|\end{eqnarray}

für alle k ∈ {1, …, n}, wobei N wieder eine Lebesgue-integrierbare Funktion sei, so besitzt das Anfangswertproblem

\begin{eqnarray}{{\bf{y}}}^{^{\prime} }=f(x,{\bf{y}}),\quad{\bf{y}}({x}_{0})={{\bf{y}}}_{0}\end{eqnarray}

eine eindeutig bestimmte Lösung, und diese ist stetig abhängig von den Anfangswerten (x0, y0).

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos