Klasse komplexer Funktionen.

Eine Funktion

\begin{eqnarray}f(z)=1+\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{c}_{v}{z}^{v}\end{eqnarray}

gehört zur Carathéodory-Klasse, wenn sie im Einheitskreis \({\mathbb{E}}=\{z\in {\mathbb{C}};|z|\lt 1\}\) regulär ist und Re(f(z)) > 0 für alle \(z\in {\mathbb{E}}\) gilt.

Es gilt folgende Charakterisierung: Eine Funktion f ist genau dann in der Carathéodory-Klasse, wenn sie eine Darstellung als Stieltjes-Integral der Form

\begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\frac{{e}^{it}+z}{{e}^{it}-z}d\mu (t)\end{eqnarray}

besitzt. Hierbei ist μ eine auf dem Intervall [−π, π] monoton nicht-fallende Funktion mit

\begin{eqnarray}\mu (\pi )-\mu (-\pi )=1.\end{eqnarray}