Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Carathéodory-Koebe-Algorithmus

konstruktives Verfahren zum Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes für ein Koebe-Gebiet G ⊂ ℂ, d.h. ein einfach zusammenhängendes Gebiet mit 0 ∈ G, \(G\subset {\mathbb{E}}=\{z\in {\rm{{\mathbb{C}}}}:|z|\lt 1\}\) und \(G\ne {\mathbb{E}}\).

Dazu wird eine geeignete Folge von sog. Dehnungsabbildungen \({\kappa }_{n}:{G}_{n}\to {\mathbb{E}}\), n ∈ ℕ0 konstruiert, wobei G0G und

\begin{eqnarray}{G}_{n+1}:={k}_{n}({G}_{n}),\quad n\in {{\rm{{\mathbb{N}}}}}_{0}.\end{eqnarray}

Die Folge der Abbildungen

\begin{eqnarray}{h}_{n}:={k}_{n}\circ {k}_{n-1}\circ \cdots \circ {k}_{0}:G\to {\mathbb{E}}\end{eqnarray}

ist dann in G kompakt konvergent gegen eine konforme Abbildung f von G auf \({\mathbb{E}}\). Dabei ist die Voraussetzung, daß G ein Koebe-Gebiet ist, keine Einschränkung der Allgemeinheit, denn ist G ≠ ℂ ein beliebiges einfach zusammenhängendes Gebiet, so kann man stets mit elementaren Methoden eine schlichte Funktion \(g:G\to {\mathbb{E}}\) mit g(a) = 0 für ein aG konstruieren und dann den Algorithmus auf das Koebe-Gebiet g(G) anwenden.

Für Einzelheiten wird auf die Carathéodory-Koebe-Theorie verwiesen.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos