R. Brück

Die Carathéodory-Koebe-Theorie ist die Theorie der sog. Dehnungsabbildungen, die zu einem konstruktiven Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes führt.

Es sei \(G\subset {\mathbb{E}}=\{z\in {\rm{{\mathbb{C}}}}:|z|\quad\lt 1\}\) ein Gebiet mit 0 ∈ G. Eine schlichte Funktion \(\kappa :G\to {\mathbb{E}}\) heißt Dehnung von G, falls κ(0) = 0 und |κ(z)| > |z| für alle z ∈ G \ {0}. Es gilt dann |κ′(0)| > 1 und r(κ(G)) ≥ r(G), wobei r(G) der innere Radius des Gebietes G bezüglich 0 ist. Im allgemeinen gilt aber nicht κ(G) ⊃ G.

Eine wichtige Eigenschaft von Dehnungen ist die folgende: Sind \(\kappa :G\to {\mathbb{E}}\) und \(\hat{\kappa }:\hat{G}\to {\mathbb{E}}\) Dehnungen mit \(\hat{G}\supset \kappa (G)\), so ist auch die Komposition \(\hat{\kappa }\circ \kappa :G\to {\mathbb{E}}\) eine Dehnung.

Ein einfach zusammenhängendes Gebiet \(G\subset {\mathbb{E}}\) mit 0 ∈ G und \(G\ne {\mathbb{E}}\) heißt Koebe-Gebiet. Für solche Gebiete gilt offensichtlich 0 < r(G) < 1.

Eine Dehnung \(\kappa :G\to {\mathbb{E}}\) eines Koebe-Gebietes G heißt zulässig, falls κ(G) wieder ein Koebe-Gebiet ist. Es folgt, daß jede Dehnung κ mit \(\kappa (G)\ne {\mathbb{E}}\) zulässig ist. Zulässige Dehnungen erhält man z. B. mit dem

Quadratwurzel-Verfahren. Es sei G ein Koebe-Gebiet, \(c\in {\mathbb{E}}\), \({c}^{2}\notin G\) und \({g}_{c}:{\mathbb{E}}\to {\mathbb{E}}\)definiert durch

\begin{eqnarray}{g}_{c}(z):=\frac{z-c}{\bar{c}z-1}.\end{eqnarray}

Weiter sei \(v\in {\mathscr{O}}(G)\) die Quadratwurzel von g_c² |G mit v(0) = c, d. h. es gilt v²(z) = g_c²(z) für z ∈ G. Schließlich sei \(\vartheta :{\mathbb{E}}\to {\mathbb{E}}\)eine Drehung von \({\mathbb{E}}\)um 0. Dann ist κ ≔ ϑ ∘ g_c ∘ ϑ eine zulässige Dehnung von G, und es gilt

\begin{eqnarray}|{k}^{^{\prime} }(0)|=\frac{1+|c{|}^{2}}{2|c|}.\end{eqnarray}

Weiter ist r(G) < r(κ (G)), und \({\mathbb{E}}\) \ κ(G) enthält innere Punkte in \({\mathbb{E}}\).

Als Beispiel wird die Mondsichel-Dehnung betrachtet. Für 0 < t < 1 ist das Schlitzgebiet \({G}_{t}:={\mathbb{E}}\backslash [{t}^{2},1)\) ein Koebe-Gebiet. Betrachtet man die zulässige Dehnung κ : = g_t ∘ v von G_t, so ist das Bildgebiet κ(G_t) gegeben durch die „Mondsichel“ \({\mathbb{E}}\) \ K, wobei K die abgeschlossene Kreisscheibe um den Mittelpunkt ϱ ≔ (1 + t²)/2t mit t ∈ ∂K ist. Insbesondere gilt κ(G_t) ⊅ G_t.

Es sei jedem Koebe-Gebiet G eine nichtleere Menge \({\mathscr{D}}(G)\) von zulässigen Dehnungen von G zugeordnet. Dann heißt die Vereinigungsmenge

\begin{eqnarray}{\mathscr{D}}:=\displaystyle \cup {\mathscr{D}}(G),\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}{h}_{n}:={k}_{n}\circ {k}_{n-1}\circ \cdots \circ {k}_{0}:G\to {\mathbb{E}}\end{eqnarray}

Jede Dehnungsfolge \({h}_{n}:G\to {\mathbb{E}}\) hat die folgenden Eigenschaften:

\begin{eqnarray}{h}_{n}^{^{\prime} }(0)=\displaystyle \prod _{v=0}^{n}{k}_{v}^{^{\prime} }(0),\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}|{h}_{n+1}(z)|\gt |{h}_{n}(z)|\gt \cdots \gt |{h}_{0}(z)|\gt |z|,\quad\quad z\in G\backslash \{0\},\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}r({h}_{n}(G))\le r({h}_{n+1}(G)),\quad\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }r({h}_{n}(G))\le 1,\quad\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }|{k}_{n}^{^{\prime} }(0)|=1.\end{eqnarray}

Eine Dehnungsfolge \({h}_{n}:G\to {\mathbb{E}}\) heißt Anschmiegungsfolge, falls h^′_n(0) > 0 für alle n ∈ ℕ₀ und \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }r({h}_{n}(G))=1\) gilt. Ziel ist, solche Anschmie-gungsfolgen zu finden, denn es gilt folgender Konvergenzsatz.

1. Es sei \({h}_{n}:G\to {\mathbb{E}}\)eine Dehnungsfolge, die in G kompakt gegen eine Funktion h konvergiert. Dann ist \(h:G\to {\mathbb{E}}\)eine Dehnung, und es gilt

   \begin{eqnarray}r(h(G))\ge \mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }r({h}_{n}(G)).\end{eqnarray}

Eine Möglichkeit zur Konstruktion von Anschmiegungsfolgen sind sog. Koebe-Familien. Dazu sei τ: (0, 1) → ℝ eine stetige Funktion mit τ(x) > 1 für alle x ∈ (0, 1).

Eine Dehnungsfamilie \({\mathscr{K}}\) heißt Koebe-Familie zu τ, falls κ′(0) = τ(r(G)) für alle Dehnungen \(\kappa \in {\mathscr{K}}\). Ist

\begin{eqnarray}{h}_{n}:={k}_{n}\circ {k}_{n-1}\circ \cdots \circ {k}_{0}:G\to {\mathbb{E}},\quad n\in {{\rm{{\mathbb{N}}}}}_{0}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}{k}_{n+1}^{^{\prime} }(0)=\tau (r({h}_{n}(G)))\end{eqnarray}

Für den Nachweis der Existenz von Koebe-Familien konstruiert man für jedes Koebe-Gebiet G mit dem oben beschriebenen Quadratwurzel-Verfahren alle Dehnungen \(\kappa :G\to {\mathbb{E}}\) mit κ′(0) > 0, wobei \(c\in {\mathbb{E}}\) so gewählt wird, daß c² ein dem Nullpunkt nächstgelegener Randpunkt von G ist. Man läßt dann G alle Koebe-Gebiete durchlaufen und bezeichnet die Menge aller so gewonnenen Dehnungen mit \({{\mathscr{K}}}_{2}\). Setzt man für x ∈ (0, 1)

\begin{eqnarray}{\tau }_{2}(x):=\frac{1}{2}\frac{x-{x}^{-1}}{{x}^{1/2}-{x}^{-1/2}}=\frac{1+x}{2\sqrt{x}},\end{eqnarray}

Hauptsatz von Koebe. Zu jedem Koebe-Gebiet G existieren Koebe-Gebiete G_n mit G₀ = G und Dehnungen \({\kappa }_{n}:{G}_{n}\to {\mathbb{E}}\)mit κ_n(G_n) = G_{n + 1}derart, daß die Folge

\begin{eqnarray}{h}_{n}:={k}_{n}\circ {k}_{n-1}\circ \cdots \circ {k}_{0}:G\to {\mathbb{E}}\end{eqnarray}

Ist r_n := r(h_n(G)) der innere Radius des Gebietes h_n(G), so gilt für die Konvergenzgeschwindigkeit

\begin{eqnarray}{r}_{n}\gt 1-\frac{M}{n},\end{eqnarray}

Neben \({{\mathscr{K}}}_{2}\) gibt es noch weitere Koebe-Familien, nämlich \({{\mathscr{K}}}_{m}\) für m ∈ ℕ, m ≥ 2 und \({{\mathscr{K}}}_{\infty }\). Dazu betrachtet man die Funktionen

\begin{eqnarray}{\tau }_{m}(x):=\frac{1}{m}\frac{x-{1}^{-x}}{{x}^{1/m}-{x}^{-1/m}}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}{\tau }_{\infty }(x):=\frac{x-{x}^{-1}}{2\quad\mathrm{log}x}.\end{eqnarray}

Diese sind stetig auf (0, 1) und bilden (0, 1) in (1, ∞) ab. Ähnlich wie bei \({{\mathscr{K}}}_{2}\) kann man dann mit dem m-te Wurzel-Verfahren und dem Logarithmus-Verfahren Koebe-Familien \({{\mathscr{K}}}_{m}\) und \({{\mathscr{K}}}_{\infty }\) zu τ_m und τ_∞ konstruieren:

m-te Wurzel-Verfahren. Es sei G ein Koebe-Gebiet und \(c\in {\mathbb{E}}\)so gewählt, daß c^m ein dem Nullpunkt nächstgelegener Randpunkt von G ist. Weiter sei \(v\in {\mathscr{O}}(G)\)die m-te Wurzel von g_c^m |G mit v(0) = c, d. h. es gilt v^m (z) = g_c^m (z) für z ∈ G. Schließlich sei \(\vartheta :{\mathbb{E}}\to {\mathbb{E}}\)eine geeignete Drehung von \({\mathbb{E}}\)um 0.

Dann ist

\begin{eqnarray}k:=\vartheta \circ {g}_{c}\circ \upsilon :G\to {\mathbb{E}}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}{k}^{^{\prime} }(0)={\tau }_{m}(r(G)).\end{eqnarray}

Logarithmus-Verfahren. Es sei G ein Koebe-Gebiet und \(c\in {\mathbb{E}}\)ein dem Nullpunkt nächstgelegener Randpunkt von G. Weiter sei \(iv\in {\mathscr{O}}(G)\)ein Logarithmus von g_c|G, d. h. es gilt e^iv(z) = g_c(z) für z ∈ G, und für b = v(0) ∈ ℍ = {z ∈ ℂ : Im z > 0} sei die Abbildung \({q}_{b}:{\rm{{\mathbb{H}}}}\to {\mathbb{E}}\)definiert durch

\begin{eqnarray}{q}_{b}(z):=\frac{z-b}{z-\bar{b}}.\end{eqnarray}

Schließlich sei \(\vartheta :{\mathbb{E}}\to {\mathbb{E}}\)eine geeignete Drehung von \({\mathbb{E}}\)um 0.

Dann ist \(\kappa :=\vartheta \circ {q}_{b}\circ v:G\to {\mathbb{E}}\)eine zulässige Dehnung von G, und es gilt κ′(0) = τ_∞(r(G)).

Die Familie \({{\mathscr{K}}}_{\infty }\) kann als Grenzwert der Familien \({{\mathscr{K}}}_{m}\) für m → ∞ aufgefaßt werden. Für x ∈ (0, 1) gilt nämlich \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{m\to \infty }{\tau }_{m}(x)={\tau }_{\infty }(x)\).

Der Carathéodory-Koebe-Algorithmus kann wie folgt zu einem Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes benutzt werden. Dazu sei G ⊂ ℂ ein einfach zusammenhängendes Gebiet mit G ≠ ℂ und z₀ ∈ G. Wählt man a ∈ ℂ \ G, so gibt es ein \(v\in {\mathscr{O}}(G)\) mit v²(z) = z − a für z ∈ G. Die Abbildung v: G → ℂ ist injektiv, und man zeigt leicht, daß eine abgeschlossene Kreisscheibe B mit Mittelpunkt c ∈ ℂ und Radius r > 0 derart existiert, daß v(G) ⊂ ℂ \ B. Die Möbius-Transformation

\begin{eqnarray}T(z):=\frac{r}{2}(\frac{1}{z-c}-\frac{1}{v({z}_{0})-c})\end{eqnarray}