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Lexikon der Mathematik: Carathéodory-Metrik

Metrik auf einer komplexen Mannigfaltigkeit.

Für eine komplexe Mannigfaltigkeit X sei B (X) der Vektorraum der beschränkten holomorphen Funktionen auf X. B (X) mit der Norm ∥·∥X ist ein Banachraum.

Der Raum L (B (X), ℂ) der stetigen Linearformen mit der Norm

\begin{eqnarray}\parallel l\parallel :=\sup \{|l(f)|;\parallel f{\parallel }_{X}\le 1\}\end{eqnarray}

ist ebenfalls ein Banachraum. Auf jeder bezüglich B (X) separablen Mannigfaltigkeit X induziert die Inklusion e : XL (B (X), ℂ), xex mit ex (f) ≔ f (x), eine Metrik

\begin{eqnarray}d(x,y):=\parallel {e}_{x}-{e}_{y}\parallel \end{eqnarray}

die man Carathéodory-Metrik nennt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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