Metrik auf einer komplexen Mannigfaltigkeit.

Für eine komplexe Mannigfaltigkeit X sei B (X) der Vektorraum der beschränkten holomorphen Funktionen auf X. B (X) mit der Norm ∥·∥_X ist ein Banachraum.

Der Raum L (B (X), ℂ) der stetigen Linearformen mit der Norm

\begin{eqnarray}\parallel l\parallel :=\sup \{|l(f)|;\parallel f{\parallel }_{X}\le 1\}\end{eqnarray}

ist ebenfalls ein Banachraum. Auf jeder bezüglich B (X) separablen Mannigfaltigkeit X induziert die Inklusion e : X → L (B (X), ℂ), x ↦ e_x mit e_x (f) ≔ f (x), eine Metrik

\begin{eqnarray}d(x,y):=\parallel {e}_{x}-{e}_{y}\parallel \end{eqnarray}

die man Carathéodory-Metrik nennt.