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Lexikon der Mathematik: Carathéodory, Satz von, über Darstellung der Elemente eines Kegels

besagt, daß sich jedes Element v eines endlich erzeugten Kegels K(a1, …, am) in ℝn als positive Linearkombination von linear unabhängigen Erzeugern unter den ai darstellen läßt, d. h.

\begin{eqnarray}v=\displaystyle \sum _{j=1}^{k}{{\rm{\lambda }}}_{{i}_{j}}\cdot {a}_{{i}_{j}}\end{eqnarray}

für Werte \({{\rm{\lambda }}}_{{i}_{k}}\gt 0\) und linear unabhängige Vektoren

\begin{eqnarray}\{{a}_{{i}_{1}},\ldots, {a}_{{i}_{k}}\}\subseteq \{{a}_{1},\ldots, {a}_{m}\}.\end{eqnarray}

Der Satz impliziert die Abgeschlossenheit endlich erzeugter Kegel, die beim Nachweis diverser Trennungssätze (u. a. dem Lemma von Farkas) eine Rolle spielt. Unendlich erzeugte Kegel sind i. allg. nicht abgeschlossen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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