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Lexikon der Mathematik: Carathéodory, Satz von, über Fortsetzung von Maßen

folgende Aussage der Maßtheorie:

Es sei Ω eine Menge, \({\mathscr{R}}\)ein Mengenring in Ω und \(\hat{\mu }\)ein Maß auf \({\mathscr{R}}\). Dann existiert auf der σ-Algebra \(\sigma ({\mathscr{R}})\)ein Maß μ, das auf \({\mathscr{R}}\)mit \(\hat{\mu }\)übereinstimmt. Die Fortsetzung ist eindeutig, falls \(\hat{\mu }\)auf \({\mathscr{R}}\)σ-endliches Maß ist.

Carathéodory zeigte, daß mit

\begin{eqnarray}{\mathscr{U}}(Q):=\{({A}_{n}|n\in {\rm{{\mathbb{N}}}})\subseteq {\mathscr{R}}|Q\subseteq \displaystyle \mathop{\cup }\limits_{n\in {\rm{{\mathbb{N}}}}}{A}_{n}\}\end{eqnarray}

für Q ⊆ Ω durch

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Carathéodory, Satz von, über Fortsetzung von Maßen
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ein äußeres Maß \(\bar{\mu }\) auf der Potenzmenge \({\mathscr{P}}({\rm{\Omega }})\) definiert ist, daß die Restriktion μ von \(\bar{\mu }\) auf die σ-Algebra

\begin{eqnarray}{{\mathscr{A}}}^{* }:=\{A\in {\mathscr{P}}({\rm{\Omega }})|\bar{\mu }(Q)\ge \\ \ge \bar{\mu }(Q\cap A)+\bar{\mu }(Q\backslash A)\forall Q\in {\mathscr{P}}({\rm{\Omega }})\}\end{eqnarray}

ein Maß ist, daß \(\sigma ({\mathscr{R}})\subseteq {{\mathscr{A}}}^{* }\) ist, und daß \(\hat{\mu }\) mit μ auf \({\mathscr{R}}\) übereinstimmt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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