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Lexikon der Mathematik: Cardanische Lösungsformeln

ein Lösungsalgorithmus, um die Nullstellen der algebraischen Gleichung dritten Grades

\begin{eqnarray}{x}^{3}+a{x}^{2}+bx+c=0\end{eqnarray}

zu bestimmen.

Sie gelten über jedem Körper der Charakteristik ungleich 2 oder 3.

In einem ersten Schritt wird in der Gleichung durch die Transformation \(z=x+\frac{1}{3}a\) der quadratische Term zum Verschwinden gebracht:

\begin{eqnarray}{z}^{3}+pz+q=0.\end{eqnarray}

Sei ζ eine primitive dritte Einheitswurzel (über dem Körper ℚ also z. B. \(\zeta =\exp (\frac{2\pi }{3})\)). Es wird gesetzt

\begin{eqnarray}u:=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2}+{(\frac{p}{3})}^{3},}}\\ v:=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2}+{(\frac{p}{3})}^{3}},}\end{eqnarray}

mit Vorzeichenwahl so, daß

\begin{eqnarray}u\cdot v=-\frac{p}{3}\end{eqnarray}

gilt. Die Nullstellen der Gleichung können dann gegeben werden durch \begin{array}{z}_{1} & = & u+v,\\ {z}_{2} & = & \zeta \cdot u+{\zeta }^{2}\cdot v,\\ {z}_{3} & = & {\zeta }^{2}\cdot u+\zeta \cdot v.\end{array}

Die Nullstellen liegen in einem Erweiterungskörper, der die dritten Einheitswurzeln und die Größen u und v (auch Radikale genannt) enthält.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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