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Lexikon der Mathematik: Carmichael-Zahl

absolute Pseudoprimzahl, eine zusammengesetzte Zahl m > 1 mit

\begin{eqnarray}{a}^{m}\equiv a\mathrm{mod} m\end{eqnarray}

für alle ganzen Zahlen a.

Die Motivation, solche Zahlen zu betrachten, kommt vom sog. kleinen Satz von Fermat, man vergleiche hierzu auch Pseudoprimzahl. Carmichael-Zahlen wurden erstmalig 1899 in einem Artikel von Korselt erwähnt. Carmichael führte sie, unabhängig davon, 1912 erneut ein und bewies einige Eigenschaften, z. B. die folgende:

Die Zahl m ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn

\begin{eqnarray}{\rm{\lambda }}(m)|(m-1).\end{eqnarray}

Hierbei bezeichnet λ die Carmichaelsche Funktion. Eine Carmichael-Zahl ist stets ungerade und enthält mindestens 3 verschiedene Primfaktoren. Die kleinsten Carmichael-Zahlen sind 561, 1105, 1729. Alford, Granville und Pomerance bewiesen 1994, daß es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt. Einige zur Zeit (2000) noch offene Fragen sind z. B.: Gibt es zu gegebenem k ≥ 3 unendlich viele Carmichael-Zahlen mit genau k Primfaktoren? Gibt es Carmichael-Zahlen mit beliebig vielen Primfaktoren? In diesem Zusammenhang formulierte Dubner folgende Vermutung: Zu jedem k ≥ 3 gibt es unendlich viele Carmichael-Zahlen, die das Produkt von k Carmichael-Zahlen sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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