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Lexikon der Mathematik: Cartan, Élie Joseph

französischer Mathematiker, geb. 9.4.1869 Dolomieu (Frankreich), gest. 6.5.1951 Paris.

Cartan promovierte 1894 mit einer vollständigen Klassifikation aller einfachen Lie-Algebren über dem Körper der komplexen Zahlen. Seine Arbeit stellt eine erstaunliche Synthese von Lie-Theorie, klassischer Geometrie, Differentialgeometrie und Topologie dar, die typisch für alle Arbeiten Cartans war. Er las in Montpellier (1894–1896), Lyon (1896–1903), Nancy (1903–1909) und Paris (1909–1940). Er ist der Vater von Henri Cartan.

Für seine Untersuchungen zu totalen Differentialgleichungssystemen ω = ∑Aidxi = 0 führte er neben Pfaffschen Formen deren äußere Ableitung ein. Anwendungen seiner Theorie äußerer Differentialgleichungssysteme hatten Einfluß auf die Physik, insbesondere auf die allgemeine Relativitäts- und die Quantenfeldtheorie, sowie auf die Differentialgeometrie.

Cartan konnte eine Vermutung von Schläfli beweisen, wonach sich jede n-dimensionale Metrik lokal in einen \(\frac{n(n+1)}{2}\)-dimensionalen euklidischen Raum einbetten läßt. In der Differentialgeometrie vollendete er die Methode des begleitenden Dreibeins von Darboux und entwickelte einen Kalkül alternierender Differentialformen. Weitere Arbeiten behandelten isoparametrische Familien von Hyperflächen in einem sphärischen Raum und Verallgemeinerungen der Riemannschen Geometrie. Bedeutsam sind auch seine Arbeiten zu symmetrischen Riemannschen Räumen sowie zur Theorie der hyperkomplexen Zahlensysteme.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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