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Lexikon der Mathematik: Cartan, Satz von, über Automorphismen

wichtige Aussage innerhalb der Funktionentheorie. Der Satz lautet:

Es sei G ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet, f eine innere Abbildung von G und (fn) die Folge der Iterierten von f. Weiter existiere eine Teilfolge von (fn), die in G kompakt gegen eine nicht konstante Grenzfunktion konvergiert.

Dann ist f ∈ Aut G, d.h. f ist eine konforme Abbildung von G auf sich.

Zwei Folgerungen aus diesem Satz seien noch angegeben:

Es sei G ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet und f eine innere Abbildung von G mit zwei verschiedenen Fixpunkten in G. Dann ist f ∈ Aut G.

Es sei G ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet, f eine innere Abbildung von G und a ∈ G ein Fixpunkt von f.

Dann gilt |f′(a)| ≤ 1. Weiter gilt f ∈ Aut G genau dann, wenn |f′(a)| = 1.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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