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Lexikon der Mathematik: Cartan-Theorem über halbeinfache Algebren

lautet: det(gαβ) ≠ 0 ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine Lie-Algebra halbeinfach ist.

Zur Notation: \({\hat{X}}_{\alpha }\) sei das Bild des Basiselements Xα der Lie-Algebra \({\mathscr{L}}\) in der adjungierten Darstellung von \({\mathscr{L}}\) auf sich. Die Komponenten von \({\hat{X}}_{\alpha }\) sind \({C}_{\alpha v}^{\mu }\).

Dann werden die metrischen Koeffizienten gαβ definiert durch

\begin{eqnarray}{g}_{\alpha \beta }=\text{Spur(}{\mathop{X}\limits^{\frown {}}}_{\alpha }{\mathop{X}\limits^{\frown {}}}_{\beta }\text{)}={C}_{\varepsilon v}^{\mu }{C}_{\beta \mu }^{v}\end{eqnarray}

(Einsteinsche Summenkonvention). Damit ist für zwei beliebige Elemente XA = aαXα und XB = bβXβ von \({\mathscr{L}}\) das innere Produkt (XA,XB) durch gαβaαbβ gegeben.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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