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Lexikon der Mathematik: Cartan-Weyl-Basis

Basis {Hi, Eα, E−α} einer halbeinfachen n-dimensionalen Lie-Algebra \({\mathscr{L}}\) mit dem Rang r. Dabei ist 1 ≤ ir, und α ≔ (α1,…, αr) (sog. Wurzelvektor, kurz auch Wurzel) ergibt sich aus den nicht-verschwindenden Eigenwerten des Kommutators [Hi, Eα] = αiEα.

Die Kommutatoren der Basiselemente erfüllen folgende Relationen:

  • [Hi, Hj] = 0,
  • [Hi, E±α] = ±αiE±α,
  • [Eα, E−α] = αiHjgig (gig sind die Lösung von \({g}_{kl}{g}^{km}={\delta }_{l}^{m}\), gkl die metrischen Koeffizienten der durch die Hi aufgespannten Lie-Algebra),
  • und

    \begin{eqnarray}[{E}_{\alpha },{E}_{\beta }]=\{(\alpha \ne -\beta, \quad\alpha +\beta \quad\text{keine}\quad\text{Wurzel})=0,\\ (\alpha \ne -\beta, \quad\alpha +\beta \quad\text{Wurzel})={N}_{\alpha \beta }{E}_{\alpha +\beta }.\end{eqnarray}

Dabei genügt Nαβ der Beziehung

\begin{eqnarray}{N}_{\alpha \beta }^{2}=\frac{q(r+1)}{2}(\beta, \beta ),\end{eqnarray}

wobei α und β die nicht-negative ganze Zahl q eindeutig so bestimmen, daß βrα, β − (r − 1)α, …, β, β + α, …, β + die einzigen von Null verschiedenen Wurzeln der Form β + sind.

Halbeinfache Lie-Algebren finden bei der Klassifikation von Elementarteilchen Anwendung. Eine besondere Rolle spielt die zur SU(3)-Gruppe gehörende Lie-Algebra. Für sie ist r = 2.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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