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Lexikon der Mathematik: Cartanscher Differentialkalkül

enthält u.a. die Regeln für den Umgang mit der Cartan-Ableitung (1) und dem δ-Operator, den allgemeinen Satz von Gauß-Stokes (2) und das Lemma von Poincaré (3).

Zu (1) gehören zum Beispiel:

d ist linear,

\begin{eqnarray}d({{\mathfrak{A}}}_{p})\subset {{\mathfrak{A}}}_{p+1}\quad(p\in {\rm{{\mathbb{N}}}}),\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}d(\varphi \wedge \psi )=d\varphi \wedge \psi +{(-1)}^{p}\varphi \wedge d\psi \quad(\varphi \in {{\mathfrak{A}}}_{p},\quad\psi \in {{\mathfrak{A}}}_{q}),\quad\ dd=0.\end{eqnarray}

Dabei bezeichnen das äußere Produkt von Differentialformen und \({{\mathfrak{A}}}_{p}\) die Gesamtheit der auf einer gegebenen offenen Teilmenge eines normierten Vektorraumes ℜ definierten differenzierbaren Abbildungen mit Werten in den alternierenden beschränkten p-linearen Abbildungen von ℜp nach ℝ (Felder alternierender Abbildungen).

Die letzte der aufgelisteten Aussagen wird gelegentlich auch als Regel von Poincaré bezeichnet.

(2) lautet

\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathfrak{G}}}d\omega =\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\partial {\mathfrak{G}}}\omega \end{eqnarray}

und enthält als Spezialfälle die klassischen Integralsätze von Gauß und Stokes.

(3) macht eine Aussage über die Lösbarkeit von dω = f, falls df = 0, unter geeigneten Bedingungen an den zugrundeliegenden Bereich \({\mathfrak{G}}\) und die Funktion f (Vektoranalysis).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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