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Lexikon der Mathematik: Cartanscher Raum

ein allgemeiner Rahmen, um Begriffe wie algebraische Varietät, Schema, oder auch komplexe Mannigfaltigkeit zu definieren.

Sei A ein kommutativer Ring (also beispielsweise ein Körper, oder auch der Ring ℤ). Ein Cartanscher Raum über A ist ein Paar \(X=(\mathop{X}\limits_{\_},{{\mathscr{O}}}_{X})\) bestehend aus einem topologischen Raum und einer Garbe \({{\mathscr{O}}}_{X}\) von kommutativen A-Algebren so, daß alle Halme \({{\mathscr{O}}}_{X,x}\) lokale Ringe sind.

Dessen Maximalideal werde mit mX,x bezeichnet, der Restklassenkörper mit k(X). Wenn UX offen, xU und \(f\in {{\mathscr{O}}}_{X}\) oder ∈ \({{\mathscr{O}}}_{X,x}\), so bezeichnen wir mit f(x) das Bild von f bei der Abbildung \({{\mathscr{O}}}_{X}(U)\to {{\mathscr{O}}}_{X,x}\to k(X)\). Beispielsweise kann A = k ein Körper sein und \({{\mathscr{O}}}_{X}\) eine Garbe von Funktionen auf X mit Werten in k, dann ist k = k(X), und f(x) entspricht dem tatsächlichen Wert von f im Punkt x. Die systematische Einbeziehung des allgemeineren Falles bringt aber technisch viele Vorteile.

Eine intuitive Vorstellung über \({{\mathscr{O}}}_{X}\) kann unter anderem wie folgt gegeben werden: Man denke sich X in einen größeren Raum eingebettet, und die Elemente von \({{\mathscr{O}}}_{X,x}\) als Taylor-Entwicklung bis zu einer bestimmten Ordnung von Funktionskeimen auf dem größeren Raum, nach Koordinaten, die auf X Null werden. Dadurch werden infinitesimale Betrachtungen in den allgemeinen Rahmen einbezogen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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