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Lexikon der Mathematik: Cassini-Bereich

eine Menge D in ℂ der Form

\begin{eqnarray}D=\{z\in {\mathbb{C}}:|z-{z}_{1}||z-{z}_{2}|\lt c\},\end{eqnarray}

wobei z1, z2 ∈ ℂ, z1z2 und c > 0 fest sind. In Normalform schreiben sich Cassini-Bereiche als

\begin{eqnarray}D=\{z\in {\mathbb{C}}:|z-a||z+a|\lt {r}^{2}\},\end{eqnarray}

wobei a > 0 und r > 0. Für a < r ist D ein Sterngebiet mit Zentrum 0, und ∂D ist eine Lemniskate.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Cassini-Bereich
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Cassini-Bereich

Ist ar, so besteht D aus zwei Zusammenhangskomponenten.

Für jedes p ∈ ℕ konvergiert die Reihe \(f(z):=\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{[\frac{1}{2}z(z-1)]}^{{2}^{n}p}\) kompakt im Cassini-Bereich W := {z ∈ ℂ : |z(z − 1)| < 2}, und W ist das Holomorphiegebiet von f.

In der klassischen Geometrie interessiert man sich insbesondere für die Randkurven des CassiniBereichs, die man dort Cassinische Kurven nennt. Man vergleiche dieses Stichwort für weitere Informationen und die dort entwickelte Nomenklatur.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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