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Lexikon der Mathematik: Cauchy-Folge

Fundamentalfolge, Folge (xn) in einem metrischen Raum (M, δ) mit der Eigenschaft

\begin{eqnarray}\forall \varepsilon \gt 0\quad\exists N\in {\rm{{\mathbb{N}}}}\quad\forall m,n\ge N\quad\delta ({x}_{m},{x}_{n})\lt \varepsilon \end{eqnarray}

oder kürzer δ(xm, xn) → 0 für m, n → ∞. Man spricht dann auch von Cauchy-Konvergenz oder Konvergenz in sich. Jede konvergente Folge ist auch Cauchy-konvergent. Genau in vollständigen metrischen Räumen sind alle Cauchy-Folgen auch konvergent. Daher kann man die Cauchy-Konvergenz in vollständigen Räumen zum Nachweis der Konvergenz ohne Kenntnis des Grenzwerts verwenden. Ferner werden Cauchy-Folgen benutzt bei der Vervollständigung unvollständiger metrischer Räume, wie z. B. bei der Definition der reellen Zahlen als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen rationaler Zahlen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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