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Lexikon der Mathematik: Cauchy, Grenzwertsatz von

besagt, daß für eine konvergente Zahlenfolge (ak) mit Grenzwert a für die Folge der arithmetischen Mittel gilt:

\begin{eqnarray}\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\frac{1}{k}\to 0,\quad\frac{1}{n+1}\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{a}_{k}{b}_{n-k}\to ab,\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\frac{1}{{n}^{t+1}}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{k}^{t}{a}_{k}\to \frac{a}{t+1}\quad(t\in {{\rm{{\mathbb{N}}}}}_{0}),\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\sqrt[n]{n}\to 1,\quad\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}\to 0,\quad\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\to e.\end{eqnarray}

Dabei sei (bk) eine weitere konvergente Zahlenfolge mit Grenzwert b.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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