Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Cauchy-Hadamard, Formel von

Formel zur Berechnung des Konvergenzradius R einer Potenzreihe

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}\end{eqnarray}

mit Koeffizienten an ∈ ℂ und Entwicklungspunkt z0 ∈ ℂ. Sie lautet

\begin{eqnarray}R=\frac{1}{\mathop{\text{lim sup}}\limits_{n\to \infty }\sqrt[n]{|{a}_{n}|}}.\end{eqnarray}

Dabei ist R = ∞, falls

\begin{eqnarray}\mathop{\text{lim sup}}\limits_{n\to \infty }\sqrt[n]{|{a}_{n}|}=0,\end{eqnarray}

und R = 0, falls

\begin{eqnarray}\mathop{\text{lim sup}}\limits_{n\to \infty }\sqrt[n]{|{a}_{n}|}=\infty.\end{eqnarray}

Sind alle Koeffizienten an ≠ 0, so gilt

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\quad\inf }\limits_{n\to \infty }|\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}|\le R\le \mathop{{\rm{lim\; sup}}}\limits_{n\to \infty }|\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}|\end{eqnarray}

und daher

\begin{eqnarray}R=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }|\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}|,\end{eqnarray}

sofern dieser Grenzwert existiert.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos