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Lexikon der Mathematik: Cauchy-Kern

Kernfunktion, die vor allem in der Cauchyschen Integralformel und beim Cauchy-Integral eine große Rolle spielt.

Es sei eine auf einer offenen Menge U ∈ ℂ holomorphe Funktion f gegeben. Man betrachte einen Punkt z0U und bezeichne mit DR (z0) die größte offene Kreisscheibe um z0, die in U liegt. Weiter sei r < R fest gewählt, und κ sei die positiv orientierte Kreislinie vom Radius r um z0. Nach der Cauchyschen Integralformel gilt für |zz0| < r

\begin{eqnarray}f(z)=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\kappa }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta.\end{eqnarray}

Der im Integranden vorkommende Ausdruck

\begin{eqnarray}\frac{1}{\zeta -z}\end{eqnarray}

heißt Cauchy-Kern, er läßt sich in eine geometrische Reihe nach Potenzen von \(\frac{z-{z}_{0}}{\zeta -{z}_{0}}\) entwickeln, und man erhält

\begin{eqnarray}\frac{1}{\zeta -z}=\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }\frac{{(z-{z}_{0})}^{v}}{{(\zeta -{z}_{0})}^{v+1}},\end{eqnarray}

eine Potenzreihe, deren gleichmasige Konvergenz auf κ man fur die folgende Anwendung ausnutzt:

Vertauschen von Integration und Summation liefert

\begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }[\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\kappa }\frac{f(\zeta )}{{(\zeta -{z}_{0})}^{v+1}}d\zeta ]{(z-{z}_{0})}^{v}.\end{eqnarray}

Aufgrund der Cauchyschen Integralformeln ist

\begin{eqnarray}{a}_{v}:=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\kappa }\frac{f(\zeta )}{{(\zeta -{z}_{0})}^{v+1}}d\zeta =\frac{{f}^{(v)}({z}_{0})}{v!},\end{eqnarray}

also von r unabhängig.

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{a}_{v}{(z-{z}_{0})}^{v}\end{eqnarray}

ist die Taylorreihe von f und konvergiert mindestens in Dr (z0) lokal gleichmäßig gegen f.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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