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Lexikon der Mathematik: Cauchy-Kowalewskaja-Theorem

klassischer Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösung partieller Differentialgleichungen nach Cauchy, in größerer Allgemeinheit studiert von Kowalewskaja.

Der Satz garantiert die lokale Existenz und Eindeutigkeit der Lösung u(t, x) eines Anfangswertproblems einer linearen partiellen Differentialgleichung mit Cauchy-Daten für t = t0.

Sind sowohl der Differentialoperator als auch die Daten lokal reell-analytisch in einer Umgebung von (t, x) = (t0, x0), dann existiert genau eine (reell-analytische) Lösung des Anfangswertproblems in einer Umgebung von (t0, x0).

Der Satz hat entsprechende Erweiterungen für Systeme von partiellen Differentialgleichungen, für spezielle quasilineare Gleichungen und für Anfangsbedingungen auf allgemeineren Anfangskurven als t = t0, die allerdings keine Charakteristiken sein dürfen.

Für nicht analytische Anfangsbedingungen gibt es von J. Hadamard als Gegenbeispiel das Anfangswertproblem

\begin{eqnarray}{u}_{tt}+{u}_{xx}+{u}_{yy}=0,\\ u(0,x,y)=\phi (x,y),\\ {u}_{t}(0,x,y)=0.\end{eqnarray}

Ist hierbei ϕ(x, y) in keiner Umgebung von (x, y) = (0, 0) analytisch, dann existiert ebenso in keiner Umgebung von (0, 0, 0) eine Lösung des Anfangswertproblems.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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