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Lexikon der Mathematik: Cauchy, Majorantenmethode von

Methode zum Beweis der Existenz von Lösungen einer Differentialgleichung erster Ordnung im Komplexen.

Man betrachte das Anfangswertproblem

\begin{eqnarray}w(z)={w}_{0}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{c}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}\end{eqnarray}

die Potenzreihenentwicklung der Lösung von (1). Mit

\begin{eqnarray}W(z)={w}_{0}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{c}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n},\end{eqnarray}

der Lösung der sog. majoranten Differentialgleichung

\begin{eqnarray}{W}^{^{\prime} }(z)=\frac{M}{(1-\frac{W-{w}_{0}}{R})(1-\frac{z-{z}_{0}}{r})},\end{eqnarray}

die die gleichen Anfangsbedingungen erfüllt, gilt Cn ≥ |cn| für alle n, d.h., die Entwicklung von W ist eine Majorante von w. Der Konvergenzradius

\begin{eqnarray}\varrho ={r}_{z}(1-\exp \{-\frac{R}{2rM}\})\end{eqnarray}

der Reihenentwicklung von W ist eine Schranke für den Konvergenzradius von w.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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