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Lexikon der Mathematik: Cauchy, Reihenproduktsatz von

macht eine Aussage über die Konvergenz der Cauchy-Produktreihe:

Es seien \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}\)und \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{b}_{v}\)zwei absolut konvergente Reihen mit Reihensummen α bzw.ß.

Dann ist die durch

\begin{eqnarray}{d}_{n}:=\displaystyle \sum _{v=0}^{n}{a}_{n-v}b{}_{v}(={a}_{n}{b}_{0}+{a}_{n-1}{b}_{1}+\cdots +{a}_{0}{b}_{n})$?>definierte Cauchy-Produktreihe konvergent, und es gilt

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{d}_{n}=\alpha \cdot \beta.\end{eqnarray}

Der Satz gilt nicht, wenn die beiden Reihen \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}\) und \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{b}_{v}\) nur bedingt konvergieren. Ein Standard-Beispiel dazu findet man etwa in [1].

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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