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Lexikon der Mathematik: Cauchy-Riemann-Gleichungen

System zweier partieller Differentialgleichungen, die notwendige und hinreichende Bedingungen an die reellen Komponenten u(x, y) und v(x, y) einer komplexen Funktion

\begin{eqnarray}f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\end{eqnarray}

für die Differenzierbarkeit bzgl. der komplexen Variable z = x + iy formulieren.

Die Gleichungen bilden ein System partieller Differentialgleichungen und lauten

\begin{eqnarray}{u}_{x}={v}_{y},\quad{u}_{y}=-{v}_{x}.\end{eqnarray}

Sind sie an einer Stelle z0 = x0 + iy0 erfüllt, dann folgt daraus die komplexe Differenzierbarkeit gemäß

\begin{eqnarray}{f}^{^{\prime} }({z}_{0})={u}_{x}({x}_{0},{y}_{0})+i{v}_{x}({x}_{0},{y}_{0}).\end{eqnarray}

Umgekehrt folgt aus der komplexen Differenzierbarkeit die Gültigkeit der Cauchy-Riemann Gleichungen.

Man kann diese Gleichungen auch in äquivalenter Weise als eine einzige (komplexe) Differentialgleichung formulieren; in diesem Fall spricht man meist von der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung. Man vergleiche dieses Stichwort für weitere Informationen. Die Notation ist aber in der Literatur nicht ganz einheitlich.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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