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Lexikon der Mathematik: Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung

eine der fundamentalen Differentialgleichungen innerhalb der Funktionentheorie.

Im folgenden geben wir die „komplexe“ Version dieses Sachverhalts, die man in Form einer einzigen Differentialgleichung hinschreiben kann. Man vergleiche auch komplex differenzierbare Funktion sowie Cauchy-Riemann-Gleichungen.

Es sei U ⊂ ℂ ein Bereich. Für eine Funktion f : U → ℂ sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:

  • f ist in z0U komplex differenzierbar.
  • f ist in z0 reell differenzierbar, und es gilt die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung

    \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial z}({z}_{0})=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}({z}_{0})+i\frac{\partial f}{\partial y}({z}_{0}))=0.\end{eqnarray}

  • Die holomorphen Funktionen auf U sind also die reell differenzierbaren Lösungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung. Damit kann das Studium der holomorphen Funktionen der Theorie der partiellen Differentialgleichungen zugeordnet werden.

    Man kann die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung auch in äquivalenter Weise als ein System zweier (reeller) Differentialgleichungen formulieren; in diesem Fall spricht man meist von den Cauchy-Riemann-Gleichungen. Man vergleiche dieses Stichwort für weitere Informationen. Die Notation ist aber in der Literatur nicht ganz einheitlich.

    Schließlich ist noch folgender Aspekt der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung bemerkenswert:

    Ist f : U → ℂ holomorph, so folgt aus der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung und der beliebig häufigen reellen Differenzierbarkeit von f:

    \begin{eqnarray}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}=4\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z\partial \bar{z}}=0.\end{eqnarray}

    Man nennt

    \begin{eqnarray}\Delta =\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}\end{eqnarray}

    den Laplace-Operator, er spielt eine wichtige Rolle in der Mathematischen Physik.

    Die Gleichung Δf = 0 heißt Laplace-oder Potentialgleichung; ihre Lösungen nennt man harmonische Funktionen.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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