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Lexikon der Mathematik: Cauchy, Verdichtungssatz von

besagt, daß für eine antitone Folge (an) nicht-negativer Zahlen die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{a}_{v}\) genau dann konvergiert, wenn die „verdichtete“ Reihe

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{2}^{n}{a}_{{2}^{n}}\end{eqnarray}

konvergiert. Insbesondere ist 2na2n → 0 eine notwendige Voraussetzung der Konvergenz.

Der Beweis kann durch Betrachten geeigneter Teilsummen und Einsatz des Monotoniekriteriums erfolgen. Mit dem Verdichtungssatz kann man z. B. unter Ausnutzung des Konvergenzverhaltens der geometrischen Reihe zeigen, daß die verallgemeinerte harmonische Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{\alpha }}\) und die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{(\text{ln}\quad n)}^{\alpha }}\) für reelle α ≤ 1 divergieren und für α > 1 konvergieren. Beides läßt sich allerdings mit dem Integralkriterium noch einfacher zeigen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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