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Lexikon der Mathematik: Cauchysche Abschätzungen für Ableitungen

einfache Folgerung aus den Cauchyschen Integralformeln, die grundlegend für den Aufbau der Funktionentheorie sind. Es handelt sich hierbei um Abschätzungen für alle Ableitungen einer holomorphen Funktion der folgenden Art:

Es sei G ∈ ℂ ein Gebiet, f eine in G holomorphe Funktion und B = Br (z0) eine offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt z0G und Radius r > 0 derart, daß \(\bar{B}\subset G\).

Dann gilt für n ∈ ℕ0und zB die Abschätzung

\begin{eqnarray}|{f}^{(n)}(z)|\le n!\frac{r}{{d}_{z}^{n+1}}\mathop{\max }\limits_{\zeta \in \partial B}|f(\zeta )|,\end{eqnarray}

wobei

\begin{eqnarray}{d}_{z}:=\mathop{\max }\limits_{\zeta \in \partial B}|\zeta -z|.\end{eqnarray}

Setzt man δ = r, so erhält man die Folgerung

\begin{eqnarray}|{f}^{(n)}(z)|\le \frac{n!}{{r}^{n}}\mathop{\max }\limits_{\zeta \in \partial B}|f(\zeta )|.\end{eqnarray}

Die Cauchyschen Abschätzungen für Ableitungen in kompakten Mengen lauten:

Es sei D ⊂eine offene Menge, K ⊂ D eine kompakte Menge und U eine offene Menge derart, daß L : = Ū kompakt ist und K ⊂ U ⊂ L ⊂ D.

Dann gibt es zu jedem n ∈0eine Konstante Mn > 0 derart, daß für jede in D holomorphe Funktion f gilt

\begin{eqnarray}\mathop{max}\limits_{z\in K}|{f}^{(n)}(z)|\le {M}_{n}\mathop{\max }\limits_{\zeta \in L}|f(\zeta )|.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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