einfache Folgerung aus den Cauchyschen Integralformeln, die grundlegend für den Aufbau der Funktionentheorie sind. Es handelt sich hierbei um Abschätzungen für alle Ableitungen einer holomorphen Funktion der folgenden Art:

Es sei G ∈ ℂ ein Gebiet, f eine in G holomorphe Funktion und B = B_r (z₀) eine offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt z₀ ∈ G und Radius r > 0 derart, daß \(\bar{B}\subset G\).

Dann gilt für n ∈ ℕ₀und z ∈ B die Abschätzung

\begin{eqnarray}|{f}^{(n)}(z)|\le n!\frac{r}{{d}_{z}^{n+1}}\mathop{\max }\limits_{\zeta \in \partial B}|f(\zeta )|,\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}{d}_{z}:=\mathop{\max }\limits_{\zeta \in \partial B}|\zeta -z|.\end{eqnarray}

Setzt man δ = r, so erhält man die Folgerung

\begin{eqnarray}|{f}^{(n)}(z)|\le \frac{n!}{{r}^{n}}\mathop{\max }\limits_{\zeta \in \partial B}|f(\zeta )|.\end{eqnarray}

Die Cauchyschen Abschätzungen für Ableitungen in kompakten Mengen lauten:

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge, K ⊂ D eine kompakte Menge und U eine offene Menge derart, daß L : = Ū kompakt ist und K ⊂ U ⊂ L ⊂ D.

Dann gibt es zu jedem n ∈ ℕ₀eine Konstante M_n > 0 derart, daß für jede in D holomorphe Funktion f gilt

\begin{eqnarray}\mathop{max}\limits_{z\in K}|{f}^{(n)}(z)|\le {M}_{n}\mathop{\max }\limits_{\zeta \in L}|f(\zeta )|.\end{eqnarray}