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Lexikon der Mathematik: Cauchysche Integralformel in n Variablen

Verallgemeinerung der aus der eindimensionalen komplexen Analysis bekannten Cauchyschen Integralformel.

Es sei a = (a1,…,an) ∈ ℂn, \(\tau =({r}_{1},\ldots, {r}_{n})\in {({{\mathbb{R}}}_{+}^{* })}^{n}\), sowie

\begin{eqnarray}P(a,\tau )=\{z\in {{\mathbb{C}}}^{n}:|{z}_{j}-{a}_{j}|\quad\lt {r}_{j}\}\end{eqnarray}

ein Polyzylinder.

\begin{eqnarray}T=T(a,\tau ):=\{z\in {{\mathbb{C}}}^{n}:|{z}_{j}-{a}_{j}|={r}_{j}\}\end{eqnarray}

sei die Bestimmungsfläche von P. Ist f eine stetige Funktion auf T, dann heißt die durch

\begin{eqnarray}ch(f)(z):=\\ :={(\frac{1}{2\pi i})}^{n}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{T}\frac{f(\zeta )}{({\zeta }_{1}-{z}_{1})\cdots ({\zeta }_{n}-{z}_{n})}d\zeta \\ :={(\frac{1}{2\pi i})}^{n}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{|{\zeta }_{n}-{a}_{n}|={r}_{n}}\cdots \displaystyle \mathop{\int }\limits_{|{\zeta }_{1}-{a}_{1}|={r}_{1}}h(z,\zeta )d{\zeta }_{1}\cdots d{\zeta }_{n}\end{eqnarray}

definierte stetige Funktion ch (f): P → ℂ Cauchy-Integral (in n Variablen) von f über T, wobei

\begin{eqnarray}h(z,\zeta ):=\frac{f(\zeta )}{({\zeta }_{1}-{z}_{1})\cdots ({\zeta }_{n}-{z}_{n})}\end{eqnarray}

sei. Wenn f holomorph auf \(\bar{P}\) fortgesetzt werden kann, so gilt

\begin{eqnarray}f|P=ch(f|T)\end{eqnarray}

Aus der Cauchyschen Integralformel in n Variablen folgt unmittelbar der folgende Satz:

Es sei BCn ein Bereich und f : B → ℂ holomorph.

Dann gibt es zu jedem wB eine Umgebung U, so daß

\begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{a}_{v}{(z-w)}^{v}\end{eqnarray}

in U gilt Dabei sind die av die „Koeffizienten der Taylorentwicklu“:

\begin{eqnarray}{a}_{{v}_{1}\ldots {v}_{n}}=\frac{1}{{v}_{1}!\ldots {v}_{n}!}\frac{{\partial }^{{v}_{1}+\ldots +{v}_{n}}f}{\partial {z}_{1}^{{v}_{1}}\ldots \partial {z}_{n}^{{v}_{n}}}(w)\end{eqnarray}

(Cauchyscher Entwicklungssatz).

Die Cauchysche Integralformel in n Variablen gilt für ein Produkt \(\bar{{D}_{1}}\times \ldots \times \bar{{D}_{n}}\) anstelle von \(\bar{P}\), wenn die eindimensionale Version der Cauchyschen Integralformel für jedes \(\bar{{D}_{j}}\) gilt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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