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Lexikon der Mathematik: Cauchysche Integralformel

Formel (1) im folgenden Satz:

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, f eine in G holomorphe Funktion und γ ein nullhomologer Weg in G. Dann gilt für n ∈ ℕ0und zG \ γ

\begin{eqnarray}f(z)=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }\frac{f(\varrho )}{\varrho -z}d\varrho, \end{eqnarray}

als Cauchysche Integralformel. Hierbei muß y ein einfach geschlossener Weg sein.

Wählt man in Formel (1) speziell n = 0, für γ eine Kreislinie mit Mittelpunkt z0G und Radius r > 0 und z = z0, so ergibt sich die sog. Mittelwertgleichung

\begin{eqnarray}f({z}_{0})=\frac{1}{2\pi }\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f({z}_{0}+r{e}^{it})dt.\end{eqnarray}

Die Formel (1) gilt allgemeiner auch für nullhomologe Zyklen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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