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Lexikon der Mathematik: Cauchysche Ungleichungen

Abschätzungen für die Koeffizienten einer Potenz-oder einer Laurentreihe. Sie lauten: Es sei

\begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}\end{eqnarray}

eine Potenzreihe mit Koeffizienten an ∈ ℂ, Entwicklungspunkt z0 ∈ ℂ und Konvergenzradius R > r > 0. Ist M(r) := max|zz0|=r |f(z)|, so gilt für alle n ∈ ℕ0

\begin{eqnarray}|{a}_{n}|\le \frac{M(r)}{{r}^{n}}.\end{eqnarray}

Ungleichungen dieser Art werden beim Beweis des Satzes von Liouville benötigt.

Entsprechende Ungleichungen gelten auch für Laurent-Reihen: Es sei

\begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}\end{eqnarray}

eine Laurent-Reihe, die im Kreisring

\begin{eqnarray}{A}_{\varrho, \sigma }({z}_{0}):=\{z\in {\mathbb{C}}:0\le \varrho \lt |z-{z}_{0}|\lt \sigma \le \infty \}\end{eqnarray}

konvergiert. Ist ϱ < r < σ und

\begin{eqnarray}M(r):=\mathop{\max }\limits_{|z-{z}_{0}|=r}|f(z)|,\end{eqnarray} so gilt für alle n ∈ ℤ

\begin{eqnarray}|{a}_{n}|\le \frac{M(r)}{{r}^{n}}.\end{eqnarray}

Es sei noch darauf hingewiesen, daß die Notation in der Literatur nicht ganz einheitlich ist; manchmal bezeichnet man auch die Cauchysche Abschätzungen für Ableitungen als Cauchysche Ungleichungen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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