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Lexikon der Mathematik: Cauchyscher Hauptwert

auch Hauptwert des uneigentlichen Integrals, „Integralwert“ für eine Funktion f : (a, b) ∪ (b, c) → ℝ in folgendem Sinne:

\begin{eqnarray}{\mathscr{P}}-\displaystyle \underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx:=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\varepsilon \to 0+}(\displaystyle \underset{a}{\overset{b-\varepsilon }{\int }}f(x)dx+\displaystyle \underset{b+\varepsilon }{\overset{c}{\int }}f(x)dx).\end{eqnarray}

Dabei sei natürlich − ∞ < a < b < c < ∞. Die Bezeichnung \({\mathscr{P}}\) kommt von „principal value“.

Neben der Bezeichnungsweise \({\mathscr{P}}-\int \) findet man auch die Notierungen PV–∫ und CH–∫.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Cauchyscher Hauptwert
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Cauchyscher Hauptwert

Dieser Hauptwert kann noch existieren, wenn das uneigentliche Integral \(\displaystyle {\int }_{a}^{c}f(x)dx\) nicht existiert. Ein Standard-Beispiel dazu ist

\begin{eqnarray}{\mathscr{P}}-\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x}dx=0.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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