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Lexikon der Mathematik: Cavalieri, Prinzip des

Cavalierisches Prinzip, allgemeine Beziehung der Integrationstheorie der Form

\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{M}f(x)dx=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{m}}\left(\displaystyle \mathop{\int }\limits_{Mz}f(y,z)dy\right)\text{}dz,\end{eqnarray}

die − in sehr spezieller und noch vager Form – von Francesco Bonaventura Cavalieri in seinem Werk „Geometria … “ 1635 – schon vor Newton und Leibniz − präsentiert wurde.

Heute ist sie Spezialfall des Satzes von Fubini oder der iterierten Integration. Hierbei seien

\begin{eqnarray}{{\mathbb{R}}}^{n}={{\mathbb{R}}}^{k}\times {{\mathbb{R}}}^{m}\end{eqnarray}

(k, m, n ∈ ℕ mit k + m = n, also

\begin{eqnarray}{{\mathbb{R}}}^{n}\ni x=({x}_{1},\ldots, {x}_{n})\end{eqnarray}

aufgeteilt in x = (y, z) mit y = (x1, …, xk) ∈ ℝk und z = (xk+1, …, xn) ∈ ℝm), M ⊂ ℝn und f : M → ℝ derart, daß alle auftretenden Integrale (jeweils im Riemannschen oder Lebes-gueschen Sinne) existieren. Dabei bezeichnet für z ∈ ℝm

\begin{eqnarray}{M}_{z}:=\{y\in {{\mathbb{R}}}^{k}|(y,z)\in M\}\end{eqnarray}

den „z-Schnitt“ von M.

Die Existenz der Integrale ist gesichert, wenn f eine auf M Lebesgue-integrierbare Funktion ist. (Das innere Integral der rechten Seite existiert dann zunächst nur fast überall, was aber in der Le-besgueschen Integrationstheorie unproblematisch ist.)

Speziell für f ≡ 1 ergibt sich mit dem κ-dimensionalen Jordan-Inhalt (oder Lebesgue-Maß) μκ:

\begin{eqnarray}{\mu }_{n}(M)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{m}}{\mu }_{k}({M}_{z})dz.\end{eqnarray}

Oft wird nur der Spezialfall m = 1 betrachtet. Dann nimmt die letzte Beziehung die spezielle Gestalt

\begin{eqnarray}{\mu }_{n}(M)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}{\mu }_{n-1}({M}_{z})dz\end{eqnarray}

an. Eine Folgerung aus dem Prinzip ist: Zwei Mengen sind inhaltsgleich, wenn alle ihre „Schnitte“ den gleichen Inhalt haben.

Ein Standardbeispiel ist der Nachweis, daß alle (schiefen) Zylinder mit derselben Höhe und Grundfläche inhaltsgleich sind (oft auch in dieser Form als Cavalierisches Prinzip bezeichnet), oder auch das folgende Beispiel:

Volumen eines Kugelabschnitts:

Ist K eine Kugel (im ℝ3) vom Radius R (mit Mittelpunkt 0), also

\begin{eqnarray}K:=\{(u,v,w)\in {{\mathbb{R}}}^{3}|{u}^{2}+{v}^{2}+{w}^{2}\le {R}^{2}\}\end{eqnarray}

so ist der w-Schnitt Kw offenbar gerade der Kreis

\begin{eqnarray}\{(u,v)\in {{\mathbb{R}}}^{2}|{u}^{2}+{v}^{2}\le {R}^{2}-{w}^{2}\}\end{eqnarray}

mit Fläche π(R2w2).

Für 0 ≤ hR heißt die Menge

\begin{eqnarray}A:=\{(u,v,w)\in K|w\ge R-h\}\end{eqnarray}

Kugelabschnitt der Höhe h.

Das Prinzip des Cavalieri liefert hier:

\begin{eqnarray}{\mu }_{3}(A)=\displaystyle \underset{R-h}{\overset{R}{\int }}\pi ({R}^{2}-{w}^{2})dw=\frac{1}{3}\pi {h}^{2}(3R-h).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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