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Lexikon der Mathematik: Cayley-Hamilton, Satz von

eine der fundamentalen Aussagen der Linearen Algebra, die zunächst etwas „unscheinbar“ wirkt. Der Satz lautet:

Jede quadratische Matrix ist Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms.

Ist das charakteristische Polynom PA (λ) der Matrix A gegeben durch PA(λ) = α0 + α1λ + ⋯ + αnλn, so gilt also:

\begin{eqnarray}{\alpha }_{0}{A}^{0}+{\alpha }_{1}A+\cdots +{\alpha }_{n}{A}^{n}=0\end{eqnarray}

(hierbei wird wie üblich A0 als die (n × n)-Einheitsmatrix I interpretiert, und 0 bezeichnet die (n × n)-Nullmatrix).

Man beachte jedoch, daß es sich hierbei ja um eine Matrix-Gleichung handelt, d. h., es sind in dieser Formel n2 Gleichungen für die Elemente des Grundkörpers enthalten.

Ist A regulär, so gilt darüber hinaus noch:

\begin{eqnarray}{A}^{-1}=-\frac{1}{{\alpha }_{0}}({\alpha }_{1}I+\cdots +{\alpha }_{n-1}{A}^{n-2}+{\alpha }_{n}{A}^{n-1}).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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