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Lexikon der Mathematik: Chapman-Kolmogorow-Gleichung

gibt an, wie sich bei einem Markow-Prozeß oder einer MarkowKette für die Zeitpunkte s < r < t die Wahrscheinlichkeit, von einem Zustand x zum Zeitpunkt s in eine Menge B von Zuständen zum Zeitpunkt t zu gelangen, dadurch berechnen läßt, daß man die Wahrscheinlichkeit, von einem beliebigen Zustand y zum Zeitpunkt r nach B zum Zeitpunkt t zu gelangen, mit der Wahrscheinlichkeit, von x zum Zeitpunkt s nach y zum Zeitpunkt r zu gelangen, über alle y aufintegriert.

Sei (Xt)t≥0 ein reeller Markow-Prozeß auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, \({\mathfrak{A}}\), P) und P(s,y; t, ⋅) das zugehörige System von Übergangswahrscheinlichkeiten.

Dann gilt für alle 0 ≤ s < r < t und \(B\in {\mathfrak{B}}({\mathbb{R}})\)die Chapman-Kolmogorow-Gleichung

\begin{eqnarray}P(s,x;t,B)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}P(r,y;t,B)P(s,x;r,dy)\end{eqnarray}

\({P}_{{X}_{s}}\)-fast sicher.

Für eine Markow-Kette \({({X}_{n})}_{n\in {{\rm{{\mathbb{N}}}}}_{0}}\) mit Zustandsraum I vereinfacht sich die Gleichung zu

\begin{eqnarray}P({X}_{t}=j|{X}_{s}=x)\\ =\displaystyle \sum _{i\in I}P({X}_{t}=j|{X}_{r}=i)P({X}_{r}=i|{X}_{s}=x)\end{eqnarray}

für alle s < r < t und j, xI.

Ohne direkte Bezugnahme auf einen MarkowProzeß oder eine Markow-Kette wird für eine Familie (Pt)t≥0 von Markow-Kernen auf einem Meßraum (E, \({\mathfrak{B}}\)) auch die Gleichung

\begin{eqnarray}{P}_{k+l}(x,B)=\displaystyle \int {P}_{s}(y,B){P}_{k}(x,dy)\end{eqnarray}

oder kurz Pk+l = PkPl für alle k, l ≥ 0 als Chapman-Kolmogorow-Gleichung bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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