Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Charakter einer Gruppe

eindimensionale komplexe Darstellung einer Gruppe, oder, etwas ausführlicher formuliert, ein stetiger Gruppenhomomorphismus von einer lokalkompakten abelschen Gruppe G in die multiplikative Gruppe {z ∈ ℂ : |z| = 1}.

Noch etwas allgemeiner ist der Begriff Quasicharakter.

Die Menge der Charaktere von G wird meist mit \(\hat{G}\) bezeichnet. Mit der Verknüpfung

\begin{eqnarray}(\chi \psi )(g):=\chi (g)\psi (g)\end{eqnarray}

wird \(\hat{G}\) zu einer abelschen Gruppe (Charaktergruppe).

Das neutrale Element von \(\hat{G}\) heißt Hauptcharakter von G und wird meist mit χ0 bezeichnet. Es gilt χ0(g) = 1 für alle gG.

Ein wichtiger Spezialfall ist der, daß G eine endliche Gruppe der Ordnung n (mit der diskreten Topologie) ist. Dann ist jeder Wert χ(g) eine n-te Einheitswurzel.

Unabhängig von der Darstellungstheorie kann man einen Charakter χ der Gruppe G wie folgt definieren: Sei U(1) die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen vom Betrag Eins. Dann heißt die Abbildung χ : GU(1) ein Charakter der Gruppe G, wenn für alle g1, g2G gilt:

\begin{eqnarray}\chi ({g}_{1})\chi ({g}_{2})=\chi ({g}_{1}{g}_{2}).\end{eqnarray}

Kurz gesagt: Ein Charakter ist ein Gruppenhomomorphismus in U(1).

Die Beziehung zur eingangs genannten Darstellung ergibt sich, wenn man ℂ als eindimensionalen komplexen Vektorraum auffaßt, auf dem die Elemente von U(1) durch Multiplikation als lineare Abbildungen wirken.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos