Charakter einer Gruppe mit zusätzlicher Struktur.

Die Gruppe der Charaktere wird zu einer topologischen Gruppe, wenn die Ausgangsgruppe eine topologische Gruppe ist. Dazu wird die Gruppe der Charaktere mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen ausgestattet.

Das Hauptresultat in diesem Zusammenhang ist:

Die Charaktergruppe einer kompakten Gruppe ist diskret, und die Charaktergruppe einer diskreten Gruppe ist kompakt.

Wir betrachten ein Beispiel: Es sei ℤ die additive Gruppe der ganzen Zahlen, also eine diskrete Gruppe. Für jedes r ∈ ℝ wird der Charakter χ_r wie folgt definiert: Für n ∈ ℤ ist

\begin{eqnarray}{\chi }_{r}(n)={\rm{\exp }}(irn).\end{eqnarray}

Offensichtlich gilt χ_r = χ_r+2π, sodaß die Charaktergruppe gerade die additive Gruppe der reellen Zahlen modulo 2π ist.

Das entspricht der kompakten Gruppe U(1), also geometrisch dem Rand des Einheitskreises in der Ebene.