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Lexikon der Mathematik: Charakteristik eines Differential-Operators

charakteristische Mannigfaltigkeit, manchmal auch als charakteristische Form eines DifferentialOperators bezeichnet, spezielle Flächen ψ (x) = 0 im ℝn, die dem Operator

\begin{eqnarray}L[u]:=\displaystyle \sum _{|\alpha |\le m}{A}_{\alpha }{\partial }^{\alpha }u\end{eqnarray}

einer quasilinearen partiellen Differentialgleichung der Ordnung m zugeordnet werden.

Dabei bezeichnen die Aα im allgemeinen Fall quadratische Matrizen gleicher Dimension, deren Koeffizienten Funktionen der Raumvariablen x, der Unbekannten u und ihrer partiellen Ableitungen bis zur Ordnung m − 1 sind.

Eine Fläche ψ(x) = 0 heißt genau dann Charakteristik von L, wenn sie mit der aus dem Symbol

\begin{eqnarray}{\rm{\Sigma }}(\lambda ):=\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}{A}_{\alpha }{\lambda }^{\alpha },\\ \lambda \in {{\mathbb{R}}}^{n},{\lambda }^{\alpha }:={\lambda }_{1}^{{\alpha }_{1}}\cdots {\lambda }_{n}^{{\alpha }_{n}}\end{eqnarray}

von L abgeleiteten charakteristischen Form

\begin{eqnarray}F(\lambda ):={\rm{\det }}({\rm{\Sigma }}(\lambda ))\end{eqnarray}

der Differentialgleichung F(ψ'(x)) = 0 genügt.

Mit Hilfe der Charakteristiken lassen sich quasilineare partielle Differentialgleichungen klassifizieren (Klassifikation partieller Differentialgleichungen) und damit geeigneten Lösungsverfahren zuführen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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