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Lexikon der Mathematik: charakteristische Klasse

eine Zuordnungsvorschrift, die jeder Mannigfaltigkeit M eines gewissen Typs (topologische, differenzierbare, komplexe etc.) und jedem Bündel E über M eines gewissen Typs (Vektorbündel, Sphärenbündel etc.) eine Kohomologieklasse bzw. Homologieklasse bzw. ein Element aus einer allgemeineren Kohomologie-theorie zuordnet.

Natürlichkeit bedeutet äquivariantes Verhalten unter Abbildungen f : NM. Für eine charakteristische Kohomologieklasse c ist dies die Äqui-varianz unter pullback, d. h.

\begin{eqnarray}{c}_{N}({f}^{* }E)={f}^{* }({c}_{M}(E)).\end{eqnarray}

Unter der charakteristischen Klasse einer Mannigfaltigkeit versteht man meist die charakteristische Klasse des Tangentialbündels.

An den charakteristischen Klassen können viele topologische Eigenschaften der Mannigfaltigkeiten bzw. der Bündel abgelesen werden. Beispiele charakteristischer Klassen sind die Chern-Klassen, die Stiefel-Whitney-Klassen, die Euler-Klasse und die Pontryagin-Klassen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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