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Lexikon der Mathematik: charakteristisches Polynom einer Differentialgleichung

das zu einer homogenen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

\begin{eqnarray}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{y}^{(n-1)}+\ldots +{a}_{1}{y}^{^{\prime} }+{a}_{0}y=0\end{eqnarray}

definierte Polynom

\begin{eqnarray}\chi (\lambda ):={\lambda }^{n}+{a}_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\ldots +{a}_{1}\lambda +{a}_{0}.\end{eqnarray}

Bis auf das Vorzeichen stimmt das charakteristische Polynom der Differentialgleichung (1) überein mit dem charakteristischen Polynom der Koeffizientenmatrix des zugehörigen linearen Differentialgleichungssystems. Die (i. a. komplexen) Nullstellen von χ sind also auch die Eigenwerte des zugehörigen Systems.

Man erhält das charakteristische Polynom auch direkt aus der charakteristischen Gleichung χ(λ) = 0, indem man den Exponentialansatz y = eλx direkt in die homogene Gleichung (1) einsetzt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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