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Lexikon der Mathematik: charakteristisches Polynom einer Matrix

das Polynom

\begin{eqnarray}{P}_{A}(\lambda ):={\rm{\det }}(A-\lambda I)\end{eqnarray}

(Determinante einer Matrix) zu einer (n × n)-Matrix A = (aij) über dem Körper \({\mathbb{K}}\) (I bezeichnet die (n × n)-Einheitsmatrix).

PA(λ) ist ein Polynom vom Grad n. Die Nullstellen von PA sind genau die Eigenwerte von A.

Ähnliche Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom, speziell gilt:

\begin{eqnarray}{P}_{{A}^{t}}(\lambda )={P}_{A}(\lambda )\end{eqnarray}

(At bezeichnet die transponierte Matrix zu A).

Das charakteristische Polynom Pf(λ) eines Endomorphismus f: VV auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V über \({\mathbb{K}}\) ist definiert als: Pf(λ) := det(fλ id), wobei id die Identität auf V bezeichnet.

Wird f bzgl. einer Basis von V durch die Matrix A beschrieben, so gilt: PA(λ) = Pf(λ). Beschreiben die beiden Matrizen A1 und A2 bezüglich zweier Basen b1 und b2 denselben Endomorphismus, so gilt also PA1 (λ) = PA2 (λ).

Für einige der Koeffizienten ai in der Darstellung

\begin{eqnarray}{P}_{f}(\lambda )={\alpha }_{n}{\lambda }^{n}+\cdots +{\alpha }_{1}\lambda +{\alpha }_{0}\end{eqnarray}

kann man explizite Formeln angeben; beispielsweise gilt:

\begin{eqnarray}{\alpha }_{n}={(-1)}^{n},\\ {\alpha }_{n-1}={(-1)}^{n+1}\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{a}_{ii},\\ {\alpha }_{0}=\det A.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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