Lexikon der Mathematik: charakteristisches Polynom einer Matrix
das Polynom
\begin{eqnarray}{P}_{A}(\lambda ):={\rm{\det }}(A-\lambda I)\end{eqnarray}
(Determinante einer Matrix) zu einer (n × n)-Matrix A = (aij) über dem Körper \({\mathbb{K}}\) (I bezeichnet die (n × n)-Einheitsmatrix).PA(λ) ist ein Polynom vom Grad n. Die Nullstellen von PA sind genau die Eigenwerte von A.
Ähnliche Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom, speziell gilt:
\begin{eqnarray}{P}_{{A}^{t}}(\lambda )={P}_{A}(\lambda )\end{eqnarray}
(At bezeichnet die transponierte Matrix zu A).Das charakteristische Polynom Pf(λ) eines Endomorphismus f: V → V auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V über \({\mathbb{K}}\) ist definiert als: Pf(λ) := det(f − λ id), wobei id die Identität auf V bezeichnet.
Wird f bzgl. einer Basis von V durch die Matrix A beschrieben, so gilt: PA(λ) = Pf(λ). Beschreiben die beiden Matrizen A1 und A2 bezüglich zweier Basen b1 und b2 denselben Endomorphismus, so gilt also PA1 (λ) = PA2 (λ).
Für einige der Koeffizienten ai in der Darstellung
\begin{eqnarray}{P}_{f}(\lambda )={\alpha }_{n}{\lambda }^{n}+\cdots +{\alpha }_{1}\lambda +{\alpha }_{0}\end{eqnarray}
kann man explizite Formeln angeben; beispielsweise gilt:\begin{eqnarray}{\alpha }_{n}={(-1)}^{n},\\ {\alpha }_{n-1}={(-1)}^{n+1}\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{a}_{ii},\\ {\alpha }_{0}=\det A.\end{eqnarray}
Schreiben Sie uns!