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Lexikon der Mathematik: charakteristisches Polynom eines zugeordneten Eigenwertproblems

das der Matrixgleichung

\begin{eqnarray}Ax=\lambda Bx,\end{eqnarray}

wobei A, B (n × n)-Matrizen über \({\mathbb{K}}\), \(\text{λ}\in {\mathbb{K}}\) und \(x\in {{\mathbb{K}}}^{n}\) sind, zugeordnete Polynom

\begin{eqnarray}P(\lambda ):={\rm{\det }}(A-\lambda B).\end{eqnarray}

P(λ) ist genau im Fall det B ≠ 0 vom Grad n (Determinante einer Matrix); in diesem Fall ist obige Gleichung äquivalent zu dem Eigenwertproblem

\begin{eqnarray}{B}^{-1}Ax=\lambda x,\end{eqnarray}

das aber den Nachteil hat, daß B−1A selbst für symmetrische A und B im allgemeinen nicht symmetrisch ist.

Es gilt aber der folgende Satz:

Sind die beiden reellen (n × n)-Matrizen A und B beide symmetrisch und B zusätzlich positiv definit, so gibt es reelle Zahlen

\begin{eqnarray}{\lambda }_{1}\ge \cdots \ge {\lambda }_{n}\end{eqnarray}

und eine Basis (b1,…,bn) vonn mit

\begin{eqnarray}A{b}_{j}={\lambda }_{j}B{b}_{j}\end{eqnarray}

(1 ≤ jn) so, daß

\begin{eqnarray}{b}_{j}{}^{t}A{b}_{i}={\lambda }_{j}{\delta }_{ji}\,\text{und}\,{b}_{j}{}^{t}B{b}_{i}={\delta }_{ji}\end{eqnarray}

für 1 ≤ j, in.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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